João, de 45 anos, trabalha em uma grande companhia de petróleo. Aos 65 anos, ele irá se aposentar e começará a receber uma renda de 20.000 u.m. por ano. Da tábua de mortalidade, sabemos que N₆₅ = 6300, N₆₆ = 5400 e D₄₅ = 1800. Encontre o valor presente atuarial dos benefícios futuros de João nos seguintes casos, respectivamente (desconsidere os centavos):

(I) o 1° pagamento ocorre um ano depois de sua aposentadoria;
(II) o 1° pagamento ocorre no ano de sua aposentadoria.

A) 60.000 u.m. e 70.000 u.m.
B) 65.000 u.m. e 75.000 u.m.
C) 70.000 u.m. e 60.000 u.m.
D) 100.285 u.m. e 136.500 u.m.
E) 136.500 u.m. e 100.285 u.m.

Uma pessoa de 47 anos compra uma renda aleatória de pagamentos anuais no valor de 1.000 u.m. cada a começarem no próximo ano. Se os pagamentos duram somente 20 anos e se N₆₈ = 1400, N₄₈ = 6000 e D₄₇ = 500, calcule o prêmio puro único para esta anuidade.

A) $ 2.800
B) $ 9.200
C) $ 12.000
D) $ 20.000
E) $ 24.000

Aos 40 anos, Ana compra um seguro de vida que oferece os seguintes benefícios: 50.000 u.m. se a morte ocorrer nos próximos 20 anos; 100.000 u.m. se a morte ocorrer entre as idades de 60 anos e 70 anos; e 30.000 u.m. se a morte ocorrer depois disso. Encontre uma expressão para o prêmio puro único deste seguro em termos dos números de comutação.

Joana, hoje com 60 anos, irá se aposentar aos 65 anos. Se ela morrer antes de completar a idade de aposentadoria, seu beneficiário receberá uma quantia de 1.000 u.m. para cada ano completo de serviço prestado, pagável no final do ano de morte. Expresse em termos dos números de comutação o valor presente deste benefício futuro se Joana entrou nesta empresa aos 45 anos.

Um indivíduo de 30 anos deseja comprar um seguro de vida inteira, cujo benefício é de 10.000 u.m.. Para tanto, ele pagará uma série de prêmios anuais pagáveis no início de cada ano enquanto ele sobreviver. Se M₃₀ = 2250, N₃₀ = 120000 e N₃₁ = 115000, calcule o valor de cada prêmio.

A) $51,11
B) $53,33
C) $187,50
D) $195,65
E) $1.125,00

Qual é a expressão algébrica que melhor representa o valor atual de uma anuidade, unitária, anual, imediata, postecipada, temporária por “n” anos, estabelecida para uma idade “x”.

A) ( ä_x - _n|ä_x) - 1
B) ( ä_x - _|nä_x) + 1
C) ( ä_x - _n|ä_x) + 1
D) ( ä_x - _|nä_x) - 1
E) ( ä_x - _|nä_x)

A renda de aposentadoria de uma pessoa é 50% de seu salário anual final. Os pagamentos são mensais durante toda a sua vida, sendo o 1º pagamento aos 65 anos. Atualmente, esta pessoa está com 20 anos e ganha 20.000 u.m. por ano. Supondo que seu crescimento salarial seja de 5% ao final de cada ano trabalhado, calcule o valor presente de seus benefícios futuros se a taxa de juros anual é 9% ao ano e ä₆₅⁽¹²⁾ = 11. Suponha ainda, que esta pessoa não morrerá nem deixará a companhia antes dos 65 anos.

A) $1.931,64
B) $8.168,69
C) $19.477,32
D) $20.451,20
E) $93.350,73

O resultado da expressão _nE_x - _n+mE_x + _n|ma_x representa o valor atual de uma anuidade vitalícia:

A) postecipada diferida por “n” anos e temporária por “m” anos
B) postecipada diferida por “n” anos
C) antecipada diferida por “n” anos e temporária por “m” anos
D) antecipada diferida por “n” anos”
E) postecipada temporária por “n” anos

Paulo tem 30 anos de idade enquanto Simone tem 25 anos. Assuma que as vidas são independentes. Ache expressões que dependam apenas de probabilidades relacionadas a cada um dos dois separadamente para as seguintes probabilidades de que:

I) tanto Paulo quanto Simone vivam por mais 30 anos:

₃₀p₃₀₃₀p₂₅

II) pelo menos um deles não viva por mais 30 anos:

1 – ₃₀p_{30 30}p₂₅

III) ambos alcancem a idade de 60 anos:

₃₀p_{30 30}p₂₅

IV) um faleça antes de alcançar 45 anos e de que o outro faleça após completar 55 anos:

(1 – ₁₅p₃₀) _30|q₂₅ + _25|q₃₀ (1 – ₂₀p₂₅)

V) exatamente um deles faleça com 45 anos ou menos:

(1 – ₁₅p₃₀) + (1 – ₂₀p₂₅) – 2(1 – ₁₅p₃₀) (1 – ₂₀p₂₅)

VI) no máximo um deles faleça com a idade de 45 anos ou menos:

1 – (1 – ₁₅p₃₀) (1 – ₂₀p₂₅).

Escolha a resposta certa:

A) Todas as afirmativas são corretas.
B) Afirmativas I, II, III, V e VI são corretas e IV é errada.
C) Afirmativas I, II, III e V são corretas e IV, VI são erradas.
D) Afirmativas I, II e III são corretas e IV, V e VI são erradas.
E) Todas as afirmativas são erradas.

Assinale a afirmativa correta, considerando as características técnicas que norteiam o Seguro Vida Inteira, com prêmios nivelados, garantindo a cobertura contra morte em qualquer época, com pagamento dos prêmios em caráter anual e vitalício.

A) O prêmio nivelado é calculado com base no regime financeiro de repartição simples.
B) A provisão matemática de benefícios a conceder deve ser constituída somente nos anos iniciais de vigência do seguro.
C) O prêmio nivelado se altera a cada ano, em função da idade atingida pelo segurado.
D) Na data de subscrição do seguro, o valor do prêmio de risco é superior ao valor do prêmio nivelado.
E) O valor do prêmio nivelado torna-se, com o transcorrer da vigência do seguro, inferior ao valor do prêmio de risco.